Linear Algebra是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中被普遍認(rèn)為是深入理解機(jī)器學(xué)習(xí)的先決條件的一門學(xué)科。

盡管線性代數(shù)是一個(gè)廣泛的領(lǐng)域，包含許多深?yuàn)W的理論和發(fā)現(xiàn)，但從該領(lǐng)域中提取出來(lái)的基本工具和符號(hào)對(duì)于機(jī)器學(xué)習(xí)從業(yè)者來(lái)說(shuō)是實(shí)用的。擁有對(duì)線性代數(shù)的扎實(shí)基礎(chǔ)，可以集中精力學(xué)習(xí)其中的重要或相關(guān)部分。

一、線性代數(shù)

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，但事實(shí)上，線性代數(shù)是數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)。矩陣和向量是數(shù)據(jù)的語(yǔ)言。

線性代數(shù)涉及線性組合。也就是說(shuō)，使用向量(稱為列的數(shù)字)和矩陣(稱為數(shù)字?jǐn)?shù)組)的算術(shù)運(yùn)算，以創(chuàng)建新的列和數(shù)字?jǐn)?shù)組。線性代數(shù)是關(guān)于線和平面、向量空間和線性變換所需的研究。

這是一個(gè)相對(duì)年輕的研究領(lǐng)域，最初于19世紀(jì)初形式化，以解決線性方程組中的未知數(shù)。線性方程只是一系列術(shù)語(yǔ)和數(shù)學(xué)操作，其中一些術(shù)語(yǔ)是未知的，例如：

y = 4 * x + 1

像這樣的方程在描述二維圖上的線時(shí)是線性的。這條線是通過(guò)將不同的值代入未知的x來(lái)找出方程或模型對(duì)y值的影響。

我們可以列出一個(gè)具有兩個(gè)或更多未知數(shù)的相同形式的方程系統(tǒng)，例如：

y = 0.1 * x1 + 0.4 * x2

y = 0.3 * x1 + 0.9 * x2

y = 0.2 * x1 + 0.3 * x2

...

y值的列可以被視為方程的輸出的列向量。浮點(diǎn)值的兩列是數(shù)據(jù)列，例如a1和a2，可以視為矩陣A。兩個(gè)未知值x1和x2可以視為方程的系數(shù)，一起形成待解的未知數(shù)向量b。我們可以使用線性代數(shù)符號(hào)來(lái)緊湊地表示這一點(diǎn)：

y = A · b

這種形式的問(wèn)題通常具有挑戰(zhàn)性，因?yàn)槲粗獢?shù)(這里有2個(gè))多于要解的方程(這里有3個(gè))。此外，通常沒(méi)有單一的線可以在沒(méi)有錯(cuò)誤的情況下滿足所有方程。描述我們通常感興趣的問(wèn)題(如線性回歸)的系統(tǒng)可能具有無(wú)窮多個(gè)解。

這只是線性代數(shù)核心中我們作為機(jī)器學(xué)習(xí)從業(yè)者感興趣的一小部分。其余的操作主要是為了更容易理解和解決這個(gè)問(wèn)題和類似問(wèn)題。

二、數(shù)值線性代數(shù)

在線性代數(shù)應(yīng)用于計(jì)算機(jī)中通常被稱為數(shù)值線性代數(shù)。“數(shù)值”線性代數(shù)實(shí)際上是應(yīng)用線性代數(shù)。這不僅僅是將線性代數(shù)操作實(shí)現(xiàn)在代碼庫(kù)中，還包括謹(jǐn)慎處理應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如處理數(shù)字計(jì)算機(jī)的有限浮點(diǎn)精度。

計(jì)算機(jī)擅長(zhǎng)執(zhí)行線性代數(shù)計(jì)算，現(xiàn)代機(jī)器學(xué)習(xí)方法(如深度學(xué)習(xí))對(duì)圖形處理單元(GPU)的依賴很大，這是因?yàn)樗鼈兡軌蚩焖儆?jì)算線性代數(shù)操作。

向量和矩陣操作的高效實(shí)現(xiàn)最早是在20世紀(jì)70年代和80年代用FORTRAN編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)的，許多代碼，或者是從這些實(shí)現(xiàn)中移植的代碼，構(gòu)成了使用現(xiàn)代編程語(yǔ)言(如Python)進(jìn)行的大部分線性代數(shù)的基礎(chǔ)。

三個(gè)流行的開源數(shù)值線性代數(shù)庫(kù)，它們實(shí)現(xiàn)了這些函數(shù)，包括：

- 線性代數(shù)包(LAPACK)。

- 基本線性代數(shù)子程序(BLAS，是線性代數(shù)庫(kù)的標(biāo)準(zhǔn))。

- 自動(dòng)調(diào)整的線性代數(shù)軟件(ATLAS)。

通常，當(dāng)您直接或間接地計(jì)算線性代數(shù)操作，通過(guò)高階算法，您的代碼很可能會(huì)下沉，使用其中一個(gè)或類似的線性代數(shù)庫(kù)。如果您安裝或編譯過(guò)Python的數(shù)值庫(kù)，如SciPy和NumPy，其中一個(gè)或多個(gè)這些底層庫(kù)的名稱可能對(duì)您不陌生。

三、線性代數(shù)與統(tǒng)計(jì)學(xué)

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的其他分支，尤其是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)有價(jià)值的工具。通常，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)生預(yù)計(jì)至少在本科階段學(xué)習(xí)了一學(xué)期的線性代數(shù)(或應(yīng)用代數(shù))。要考慮的重要因素是，線性代數(shù)與統(tǒng)計(jì)學(xué)以及應(yīng)用機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域之間都具有基礎(chǔ)性的關(guān)系。

線性代數(shù)對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)和統(tǒng)計(jì)方法的一些明顯影響包括：

- 使用向量和矩陣表示，特別是在多元統(tǒng)計(jì)中。

- 最小二乘和加權(quán)最小二乘的解法，如線性回歸。

- 數(shù)據(jù)矩陣的均值和方差估計(jì)。

- 在多項(xiàng)高斯分布中起關(guān)鍵作用的協(xié)方差矩陣。

- 用于數(shù)據(jù)降維的主成分分析，整合了其中許多元素。

正如您所看到的，現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)據(jù)分析，至少就機(jī)器學(xué)習(xí)從業(yè)者的興趣而言，依賴于對(duì)線性代數(shù)的理解和工具。

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